Un quadrato squadrato

[FarFarFare è una newsletter che indaga percorsi e narrazioni didattici. Ci hanno invitato a curarne un numero.]

A cura di eXtemporanea

Farfarfare  è un progetto  di Ilaria Rodella e Pietro Corraini con il supporto di Ludosofici e Corraini Edizioni Testi di Costanza Faravelli • Illustrazioni di Gaia Scarpari • Marketing e strategia di Flavio Pintarelli. 

 

 

 

 

 

 

 

Alle volte, quando ero piccolo, mi sembrava che un rombo fosse un quadrato girato. Ma questo non torna: il nome di una figura non dovrebbe dipendere da come è orientata, no? Un quadrato ruotato è sempre un quadrato o diventa un rombo?

Ho provato a prendere quattro stuzzicadenti.

Prendo quattro stuzzicadenti e formo il mio quadrato unendo le punte: posso ottenere un quadrato vero, con gli angoli retti e i lati tutti uguali, ma se deformo la mia figura, spostando gli stuzzicadenti ma lasciando le punte unite, otterrò molti rombi.

Ho intuito così che i rombi non sono quadrati girati, ma deformati. Anzi, sono una specie di quadrati deformati, sempre coi lati uguali, però con gli angoli, appunto, deformati. In effetti, sul libro di testo c’era scritto che la definizione di rombo è «un quadrilatero con i lati tutti uguali». Cioè tutte le figure che posso ottenere con quattro stuzzicadenti! 

Ma cosa succede al mio quadrato se, al posto di afferrarlo per gli angoli, lo prendo per i lati e lo tiro da lì? 

Ho preso un elastico, l’ho messo tra indice e pollice di entrambe le mani e ho formato un quadrato. Adesso voglio vedere che cosa succede. 

Prendo allora un elastico e formo il mio quadrato di partenza aiutandomi con i due pollici e i due indici. Invece di deformarlo per gli angoli, li lascio uguali e allungo i lati. Li tiro ancora e poi ancora: ecco tanti nuovi rettangoli.

Sono tornato sul mio libro e, in effetti, leggo: «il rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli retti», cioè tutte le figure che posso ottenere stirando l’elastico e tenendo i suoi quattro angoli uguali.

Il rombo mi sembrava un quadrato girato, il rettangolo un quadrato stirato, ma tutto dipendeva da cosa stavo deformando: per il rombo deformo gli angoli, per il rettangolo deformo i lati; per i rombi lascio i lati invariati, per i rettangoli lascio gli angoli invariati.Ecco perché il quadrato è tanto speciale: è sia un rettangolo sia un rombo. È la forma dell’incontro tra queste due classi, il loro orizzonte comune. Ecco l’intersezione!

Quando ho deformato gli angoli o i lati, mi sono accorto che la definizione astratta di rombo e quella di rettangolo si accompagnavano a un movimento fisico, reale: la geometria è movimento!

A questo punto, mi viene una curiosità e provo a deformare una volta ancora il mio quadrato.

Disegno il quadrato su un palloncino. Questa volta, al posto di deformare lati o angoli, deformo la superficie su cui ho disegnato il quadrato.

Prendo il palloncino e lo gonfio.

Quello che ho davanti agli occhi è sempre un quadrato?

Mi rendo conto che, forse, è tutta una questione di definizioni: non posso rispondere a questa domanda se prima non so dire che cosa è per me un quadrato.

Definire è importante, ma, alle volte, anche rischioso. Spesso, in matematica, le definizioni sono così astratte che perdono di vista quello che concretamente indicano. Per questo, le intersezioni possono essere molto utili!

Per esempio, la linea si definisce come un insieme ordinato di punti. Ogni volta che una o più linee si incrociano posso vedere un’intersezione tra i punti che le compongono: se a incrociarsi sono due rette, l’intersezione è data da un punto; se sovrappongo una “S” a una “I”, a intersecarsi saranno tre punti

È come se l’intersezione mi mostrasse quella definizione. E mi ci facesse pensare un po’ su. Lo fa anche il quadrato, che è l’intersezione a cui ho pensato oggi.

L’insieme di tutti i rombi e l’insieme di tutti i rettangoli hanno un’intersezione, che è l’insieme di tutti i quadrati. Noi però non riusciamo a pensare per rappresentazioni di insiemi. Allora, come abbiamo fatto, prendiamo un rettangolo o un rombo e lo deformiamo per bene fino a “quadrarlo” e dimostrare quello che volevamo dimostrare.

Ma se, invece, quel quadrato lo disegniamo sul palloncino e lo gonfiamo, la figura è ancora un quadrato?
Se per me il quadrato è “la figura con quattro lati uguali e quattro angoli retti”, allora no, il mio quadrato non è più un quadrato. Ma se considero un quadrato come “la figura con quattro lati uguali e quattro angoli uguali”, allora sì, il mio quadrato sul palloncino è ancora un quadrato.

Insomma, si tratta sempre di mettersi d’accordo sulle definizioni. E sembra proprio che le intersezioni siano ciò che ci rendono le definizioni familiari: il nostro punto di vista privilegiato sulle cose.

 

eXtemporanea è un insieme di studenti, ricercatori universitari sparsi per l’Italia, le cui vite si sono intersecate al Festivaletteratura di Mantova.

eXtemporanea è un progetto di conversazione scientifica.

 

In particolare, hanno contribuito a questo testo: Elena Alma Rastello, Emanuele Penocchio, Giancarlo Cinini, Mattia Galeotti e Paulo Fernando Lévano.

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